אלי מלכי

מודל תמחור האופציות של בלאק ושולס (Black & Scholes) הוא מושג ידוע בקרב מקצועני שוק ההון, אך לא רבים בציבור הרחב מכירים אותו.

פישר בלאק החל את הקריירה שלו כחוקר בתחום מדעי המחשב, ופנה למחקר של שוק ההון בעקבות חברו לעבודה ג'ק טריינור. בסוף שנות ה-60 פגש בלאק את מיירון שולס, פרופסור למימון מ-MIT, והם חברו יחד כדי למצוא דרך מתימטית לקביעת מחירן של אופציות.

אופציה היא חוזה שבאמצעותו ניתן לרכוש או למכור נכס כלשהו עד לתאריך מסוים ובמחיר שנקבע מראש. ניקח לדוגמה משקיע שסבור שמחירה של מניה מסוימת - שמחירה כיום הוא, נניח, 100 שקל - יעלה. אותו משקיע יכול לרכוש אופציית קול (Call) שתאפשר לו לרכוש את המניה, עד לתאריך מסוים בעתיד, במחיר של 100 שקל. אם מחיר המניה אכן יעלה, המשקיע יכול לממש את האופציה - ולגרוף לכיסו רווח, ללא השקעה בפועל במניה. אם מחיר המניה לא יעלה, העלות היחידה למשקיע היא המחיר שהוא שילם עבור האופציה.

שימוש נוסף באופציות הוא במקרה של משקיע שמחזיק במניה מסוימת (לשם המחשה נניח שגם היא נסחרת במחיר של 100 שקל), אבל חושש מירידה במחירה. משקיע זה יכול לקנות אופציית פוט (Put), שתאפשר לו למכור את המניה עד מועד פקיעת האופציה ב-100 שקל. אם מחיר המניה ירד, יכול המשקיע לממש את האופציה ולהימנע מהפסד. למעשה, רכישת אופציית פוט שקולה לקניית ביטוח מפני ירידה במחיר נכס הבסיס.

השאלה שהעסיקה את בלאק ושולס היתה כיצד לקבוע את מחירן של אופציות כאלה, בהינתן מידע על מחיר נכס הבסיס, התשואה של נכס חסר סיכון ומשך הזמן עד הפקיעה. ב-1970 הם מצאו נוסחה מתימטית שמחשבת את מחיר האופציה באמצעות הנחות לגבי התכונות הסטטיסטיות של מחירי המניות.

עברו עוד שלוש שנים עד שהם הצליחו לשכנע את העורכים של ה-Journal of Political Economy שהמודל שלהם חשוב מספיק ושכדאי לפרסם אותו. המודל שלהם תפס תאוצה כשבשיקגו הושקה ב-1973 בורסה מיוחדת למסחר באופציות (Chicago Board Option Exchange), ומאז הן נהפכו למכשיר פופולרי בקרב המשקיעים.

התיק הסינתטי של מרטון

רוברט מרטון, גם הוא פרופסור למימון ב-MIT, המשיך לחקור את המודל של בלאק ושולס. מרטון פיתח דרך מתימטית שבאמצעותה ניתן לדמות אופציה באמצעות תיק השקעות סינתטי, שמורכב מנכס חסר סיכון ומנכס הבסיס שלה. תנאי ליצירת תיק סינתטי כזה הוא האפשרות להתאים אותו באופן רציף לשינויי המחירים בשוק.

גרסתו של מרטון למודל תמחור האופציות גרמה למהפכה בהתייחסות לסיכון שכרוך בהשקעה בניירות ערך. עד אז, הסברה המקובלת היתה שניתן להקטין את הסיכון באמצעות פיזור ההשקעה על פני אפיקים שאינם מתואמים זה עם זה - אך איש לא חשב שניתן לבטל את הסיכון לגמרי.

הנוסחה שפיתח מרטון הציגה דרך תיאורטית לביטול מוחלט של הסיכון, באמצעות יצירת תיקים סינתטיים שמדמים אופציות פוט. כדי לעשות זאת לא היה צורך באופציות עצמן - נדרש רק מודל מתימטי שיוזן למחשב וינפק פקודות קנייה ומכירה אוטומטיות על פי השינויים במחירים בשוק.

על בסיס מודל תמחור האופציות התפתחה אסטרטגיית השקעה שנקראה "ביטוח תיקים" (Portfolio Insurance), ונועדה לבטל את הסיכון שבתיקי השקעות - אך התברר שהסיכון בשווקים הפיננסיים מסרב להיעלם.

הנחת היסוד במודל של בלאק, שולס ומרטון היתה שלמשקיע הבודד שמשתמש בנוסחה שלהם אין השפעה על המחירים בשוק. אך מה קורה כשהרבה מאוד משקיעים פועלים על פי אותה אסטרטגיה שמציע המודל?

נורת אזהרה ראשונה: המפולת של 1987

נורת אזהרה ראשונה נדלקה ב-19 באוקטובר 1987. בעקבות ירידה קטנה במדד דאו ג'ונס החל גל של פקודות מכירה אוטומטיות, כשמאות מחשבים שתוכנתו ליישם את אסטרטגיית ביטוח התיקים ניסו לבצע בו-זמנית התאמה לתיקי ההשקעות. התוצאה של אותו "יום שני השחור" היתה התרסקותו של שוק המניות ב-20% ביום אחד.

הנפילה של אוקטובר 1987 הדהימה את אנשי האקדמיה. כתבת של ה"וול סטריט ג'ורנל" ריאיינה את ויליאם שארפ, אחד החוקרים הבולטים בתחום הכלכלה הפיננסית, ושאלה אותו מהן הסיבות לנפילה. "ייתכן שהנפילה בשווקים נובעת משינוי בתחזית של משקיעים מתוחכמים לגבי הכלכלה", אמר לה שארפ - "אבל ההנחה הזו נראית מוזרה למדי".

לאחר מכן סופר כי כשהתפרסם הראיון התקשרה אל שארפ אמו. "הקדשת 15 שנה ללימודים וקיבלת שלושה תארים מתקדמים", היא נזפה בו, "וכל מה שיש לך להגיד הוא שזה נראה מוזר?"

הנגזרים דווקא הגדילו את הסיכון

למרות הכל השווקים הפיננסיים התאוששו במהירות מהנפילה של אוקטובר 1987, והתדהמה נשכחה. אמנם אסטרטגיות של ביטוח תיקים נהפכו לפחות פופולריות, אך בתחילת שנות ה-90 החלו בנקים ובתי השקעות להשתמש במודל תמחור האופציות כדי ליצור מכשירים פיננסיים חדשים שנקראו נגזרים (Derivatives), ושנשאו שמות קוד כמו CDO ו-CDS.

התפתחות זו לוותה בתמיכה של הממסד הפיננסי בארה"ב, ובמיוחד של יו"ר הפד דאז אלן גרינספאן. מדוע סברו הרגולטורים בארה"ב שהנגזרים הפיננסיים טובים לכלכלה? התשובה קשורה למודל כלכלי נוסף, מודל ארו-דברו (Arrow-Debreu).

עבור כלכלנים שעוסקים בתיאוריה כלכלית, מודל ארו-דברו הוא האורים והתומים בכל הנוגע לשווקים שפועלים במצבים של אי ודאות. המודל, שהוצג בראשונה בתחילת שנות ה-60, מוכיח מבחינה מתימטית שקיומו של מסחר בחוזים שבאמצעותם ניתן להעביר סיכונים בין השחקנים בשוק מקטין את אי הודאות, ובכך תורם ליעילותו של השוק.

המסקנה ממודל ארו-דברו היא שאילו ניתן היה ליצור חוזים כאלה לכל אחד מהסיכונים האפשריים בשוק, האי ודאות היתה מתבטלת והשוק היה מגיע ליעילות מקסימלית. כשארו ודברו הציגו את המודל שלהם בשנות ה-60 הוא היה תיאורטי לחלוטין, אך מודל תמחור האופציות איפשר לתרגם את התיאוריה למעשה באמצעות הנגזרים הפיננסיים.

הרגולטורים של שוק ההון, שהתחנכו על בסיס המודל של ארו ודברו, סברו שהעברת סיכונים באמצעות נגזרים פיננסיים מייעלת את המערכת הפיננסית ומביאה להפחתה משמעותית בסיכון שלה. איש לא הביא בחשבון שהשימוש הנרחב במכשירים אלה יוצר סיכון שיטתי לכל המערכת הפיננסית. רק לאחר קריסתה של המערכת הפיננסית העולמית בסוף 2008 הסתבר שהנגזרים הפיננסיים, שהיו אמורים להקטין את הסיכון, היו בין הגורמים העיקריים למפולת.

רוב האנשים שהוזכרו כאן זכו בפרסי נובל בכלכלה: קנת ארו ב-1972, ויליאם שארפ ב-1990 ומיירון שולס ורוברט מרטון ב-1997 (פישר בלאק נפטר כמה שנים לפני כן, ופרס נובל אינו מוענק לאנשים לאחר מותם).

תרומתם למחקר של שוקי ההון היא רבה. ואולם, כדאי לבחון אותה בהתחשב באזהרתו של המתימטיקאי הצרפתי אנרי פואנקרה לגבי השימוש בכלים סטטיסטיים לחיזוי ההתנהגות האנושית: "כשאנשים מתכנסים יחד הם כבר לא מקבלים החלטות באופן מקרי וללא תלות זה בזה, אלא דווקא מגיבים זה למעשיו של זה. ישנם גורמים רבים שמשפיעים על ההחלטות האנושיות, אך ישנה תכונה אנושית אחת שאינה משתנה - הנטייה להתנהג כמו עדר".

*CDO

מכשיר שמאגד הלוואות משכנתא רבות ומעביר את התשלומים החודשיים כריבית למשקיעים. המכשיר מחולק לרצועות, כשלכל רצועה סיכון שונה וריבית שונה

*CDS

חוזי ביטוח נגד חדלות פירעון של אג"ח שהסיכונים שנלווים אליהם הביאו את AIG לסף התמוטטות ולחילוץ בידי הממשל האמריקאי

*אנרי פואנקרה

מתימטיקאי ופילוסוף צרפתי שפעל בשלהי המאה ה-19 ובראשית המאה ה-20 בצרפת ושהשפיע רבות על מתימטיקאים, מדענים והוגים

מודל ארו-דברו ותרומת הנגזרים לכלכלה

<<מודל ארו-דברו הוא מודל שיווי משקל כלכלי שמתייחס במפורש לאי הוודאות שקיימת במציאות. על פי המודל, שיווי משקל כלכלי יושג כאשר מתקיימים שוקי הון שמאפשרים לגדר את כל הסיכונים האפשריים. לדוגמה: אדם שרוצה לטוס לחופשה, אך חושש שיירד גשם שיקלקל לו אותה, יוכל לרכוש ביטוח נגד הסיכון לגשם בזמן החופשה שלו, כשבמקביל יימצא אדם אחר שיהיה מוכן למכור לו ביטוח כזה.

לפי המודל של ארו-דברו, אילו ניתן היה לסחור בניירות ערך כאלה השוק היה מגיע ליעילות מרבית, ואי הודאות היתה נעלמת. פועל יוצא מהמודל של ארו-דברו הוא שנגזרים פיננסיים, שמאפשרים גידור סיכונים, טובים לכלכלה.

תמחור אופציות לפי מודל בלאק אנד שולס

<<מודל בלאק אנד שולס מציג דרך לחשב את מחיריהן של אופציות. המודל מניח שמחיר המניה שמשמשת כנכס הבסיס מתנהג על פי התפלגות שנקראת לוג-נורמלית. הנחות נוספות הן שהמניה לא מחלקת דיווידנדים, שהריבית חסרת הסיכון זהה לחוסכים וללווים, שאין הגבלה על מכירה בחסר, שלא ניתן לסחור בחלקים מהמניה, שאין הוצאות עסקה ושאין אפשרות לארביטראז'.

המודל מניח גם שמחיר אופציית קול נקבע על פי הגורמים הבאים: מחיר המניה, מחיר המימוש של האופציה, משך הזמן עד פקיעת האופציה, הריבית חסרת הסיכון וסטיית התקן של תשואת המניה. מחיר אופציית פוט נגזר מכך שכתיבת אופציית פוט ומכירה בחסר של נכס הבסיס שקולים לרכישה של אופציית קול ונכס חסר סיכון.

תגובות

הזינו שם שיוצג באתר
משלוח תגובה מהווה הסכמה לתנאי השימוש של אתר TheMarker