האם בקרוב המצב ישתפר? על גדילה אקספוננציאלית - ומתי הקצב יתמתן

גדילה אקספוננציאלית מתחילה לאט, אבל אז ממריאה בקצב גובר והולך. וזה החשש מהמגפה - היא מתחילה בקטן, כמה מקרים בודדים, ואז כמה עשרות, ואז כמה מאות. ואם הגדילה היא אקספוננציאלית, בתוך שבועיים-שלושה זה יכול להגיע לעשרות אלפים ומאות אלפים ומיליונים

דרור פייטלסון
דרור פייטלסון
שתפו כתבה במיילשתפו כתבה במייל
מעבר לטוקבקים
דרור פייטלסון
דרור פייטלסון

הרבה אנשים משתמשים בביטוי "גדילה אקספוננציאלית" כדי לתאר משהו שגדל ממש מהר. אבל זה לא סתם ביטוי — יש לזה משמעות מתמטית מוגדרת. בהקשר של מגפה עולמית כמו הקורונה, השאלה אם מדובר באמת בגדילה אקספוננציאלית או לא היא משמעותית, ומשליכה על תחזיות של איך הדברים יתפתחו והאם צעדי החירום מוצדקים. אז שווה להשקיע קצת בלהבין מה זה גדילה אקספוננציאלית.

כשמדברים על גדילה, מדברים על תהליך. על משהו שקורה לאורך זמן. ובהקשר של מודלים מתמטיים, כמו גדילה אקספוננציאלית, נוח להתייחס לזמן כאל זמן דיסקרטי. זה פשוט אומר שנסתכל על יחידות זמן קבועות: למשל עכשיו, מחר, מחרתיים, עוד 3 ימים, וכך הלאה, בקפיצות של יום. המתמטיקה יודעת לטפל גם במה שקורה עוד שבוע ויומיים ו-13 שעות ו-6 דקות ו-52 שניות, אבל אנחנו נסתפק בנקודות זמן במרווחים קבועים.

תהליך הגדילה הכי פשוט הוא גדילה לינארית. זה פשוט אומר שבכל יחידת זמן נוסף גודל קבוע, כמו במדרגות. למשל, הכנסה ממשכורת נוטה לעבוד ככה. בואו נניח שאני מרוויח אלף שקל בחודש. אז בחודש הראשון אני מקבל אלף. בשני אני מקבל עוד אלף ויש לי כבר אלפיים. בשלישי אני מקבל עוד אלף, ובסך הכל הצטברו אצלי שלושת אלפים. וכל הלאה. זה מתואר בטבלה הבאה:

טבלה לינארית

העיקרון של גדילה אקספוננציאלית הוא גם פשוט. במקום תוספת קבועה, מכפלה קבועה. בכל יחידת זמן מכפילים את מה שיש לי בגורם קבוע. למשל, אני יכול לחתום על חוזה כזה: בחודשיים הראשונים אני אסתפק בעשרה שקלים בלבד. פי 100 פחות מבדוגמה הקודמת. אבל בכל חודש נוסף אני אקבל כפול מהחודש הקודם. מה שקורה מתואר בטבלה הבאה:

משכורת אקספוננציאלית

בהתחלה זה נראה שיצאתי פראייר. אבל אחרי 11 משכורות זה כמעט שווה, ובמשכורת ה-12 אני כבר מקבל הרבה יותר.

וזה רק ממשיך לגדול משם. בחודש ה-13 כבר יהיו לי 40,960 שקל (לעומת 13,000 בלבד עם משכורת לינארית). בחודש ה-14 יהיו 81,920 שקל (לעומת 14,000). אחרי 18 חודשים אני כבר אעבור את המיליון, ואקבל במצטבר לא פחות מ-1,300,480 שקל — פי 72 יותר ממה שהייתי מקבל במקרה הלינארי.

אז זה הכוח של גדילה אקספוננציאלית. מתחיל לאט, אבל אז ממריא בקצב גובר והולך. וזה החשש מהמגפה - היא מתחילה בקטן, כמה מקרים בודדים, ואז כמה עשרות, ואז כמה מאות. אבל אם הגדילה היא אקספוננציאלית, בתוך שבועיים-שלושה זה יכול להגיע לעשרות אלפים ומאות אלפים ומיליונים. וזה חשש משמעותי, כי באופן אינטואיטיבי נראה שהמודל האקספוננציאלי הוא הנכון במקרה של מגפה. מתחילים מחולה אחד. הוא מדביק שניים נוספים. כל אחד מהם מדביק עוד שניים, בסך הכל 4 נוספים. הם מדביקים 8 נוספים. בכל צעד מספר הנדבקים מוכפל פי 2: גדילה אקספוננציאלית.

אבל האם זה באמת מה שקורה? באמת כל כמה ימים המספר מוכפל פי 2?

הבעיה היא שקשה להסתכל על נתונים אקספוננציאליים. אם נצייר מזה גרף, המספרים האחרונים כל כך גדולים יחסית לראשונים שפשוט לא נראה את הראשונים. הנה הגרף שמראה את התפשטות מגפת הקורונה בעולם, בלי סין (כלומר הגל השני, הנוכחי, של המגפה, אחרי שהיא כבר די נעצרה בסין). זה לא שלא היו מקרים בסוף פברואר ובחצי הראשון של מרץ. פשוט הם כל כך מעטים לעומת מה שקורה בימים האחרונים, שלא רואים אותם.

סקאלה אקספוננציאלית

הפתרון הוא להציג את הנתונים בסקלה לוגריתמית. "לוגריתמי" זה ההיפך מ"אקספוננציאלי". אנחנו עדיין מראים בדיוק את אותם הנתונים. אבל במקום שהציר האנכי ישקף את הערכים עצמם, הוא משקף את מספר הצעד שבו הם התקבלו. תסתכלו על הציר בצד שמאל. בהצגה הזו, בסקלה לוגריתמית, מרחקים קבועים לא משקפים קפיצות קבועות של 20,000. במקום זה הם משקפים מכפלות קבועות של פי 10. אז בחלק התחתון אפשר לראות מספרים קטנים באופן מפורט, והם לא נעלמים לנו, ובחלק העליון עדיין רואים את המספרים הגדולים.

סקאלה לוגריתמית

והנה השוס. הדבר הכי חשוב הוא שאם הנתונים באמת גדלים בצורה אקספוננציאלית, כשנציג אותם בסקלה לוגריתמית נקבל קו ישר. למה? כי גדילה אקספוננציאלית אומרת שעם כל צעד ימינה בציר הזמן, נכפיל בקבוע בציר הערכים. אבל בסקלה לוגריתמית הרי הכפלה בקבוע מיתרגמת לצעד קבוע כלפי מעלה. אז צעד ימינה גורר צעד למעלה, שני צעדים ימינה זה שני צעדים למעלה, וכך הלאה — קו ישר.

וקו ישר זה דבר שקל לראות בגרף. הנה הגרף שוב, עם סימון של הקטעים הישרים.

סקאלה לוגריתמית

אז מה שאפשר לראות הוא שבהתפרצות המגפה בעולם, אחרי שהיא דעכה בסין, יש שתי פאזות אקספוננציאליות. הראשונה הייתה מה-30 בינואר עד ה-20 בפברואר. בתקופה הזו, שאורכה 21 יום, מספר מקרי הקורונה גדל מ-131 ל-1212. עדיין מספרים קטנים, אבל בכל זאת גדילה אקספוננציאלית. אם עושים את החשבון יוצא שמספר החולים גדל פי 1.1118 כל יום, שזה גדילה ב-11.18% כל יום. באופן מצטבר, מספר המקרים הכפיל את עצמו כל שבוע.

הפאזה השנייה התחילה ב-20 בפברואר ופחות או יותר נמשכת ממש עד לאחרונה (בימים האחרונים יש אולי סימן קל להקטנה בקצב, אז אני אזהר ואתייחס אליה עד 16 במארס). בתקופה הזו, שאורכה 25 יום, מספר המקרים גדל מ-1212 ל-101,592. זה עלייה פי 1.1938 כל יום, או עלייה של 19.38%. בקצב כזה, מספר המקרים מכפיל את עצמו כל 4 ימים. אם זה ימשיך כך, נגיע למיליון חולים תוך מעט פחות משבועיים.

במקביל, גם מספר המתים עולה באופן אקספוננציאלי. והקצב של העלייה במתים גבוה מהקצב שבו מספר החולים עולה. ב-14 בפברואר היו רק 3 מתים. ב-16 במארס היו כבר 3,936. העלייה הזו על פני 31 יום שקולה לעלייה פי 1.2606, או ב-26.06%, כל יום. בקצב כזה, מספר המתים מכפיל את עצמו כל 3 ימים. אם זה ימשיך בקצב הזה, נגיע למיליון מתים בערך בעוד 3.5 שבועות. זו הסיבה להיסטריה ולצעדי החירום בכל העולם. לא רוצים שזה ימשיך בקצב הזה.

מצד שני, עלייה אקספוננציאלית היא לא כל הסיפור במגפות. אף מגפה לא גדלה אקספוננציאלית ומדביקה את כל האוכלוסייה. רק ההתחלה אקספוננציאלית. אחר כך הקצב חייב לרדת, ולו בגלל שלא נשארו הרבה אנשים להדביק יותר כי רובם כבר חלו. ומי שחלה כרגיל מחוסן כבר מפני הדבקה נוספת. בסין למשל השלב האקספוננציאלי היה כנראה פחות מ-3 שבועות, ואז זה התחיל להתמתן. בקוריאה גם היה שלב אקספוננציאלי קצר, אחריו המשך גדילה לינארית למשך שבוע, ומאז זה התמתן מאוד.

השאלה הגדולה היא למה הקצב מתמתן. האם זה בגלל צעדי המנע הממשלתיים, שמגבילים מגע בין בני אדם? או שאותו דבר היה קורה גם באופן טבעי, פשוט כי הרבה אנשים מחוסנים באופן טבעי, או אולי קיבלו חיסון בזכות זה שהם נדבקו באופן קל ואפילו לא הרגישו את זה? את זה יהיה קשה לברר בוודאות. אבל לא לגמרי בטוח שצעדי החירום הקיצוניים מוצדקים. מאוד סביר שצמצום מגע בין אנשים תורם להאטת ההדבקה, וכך היה גם בסין וקוריאה. אבל מכאן ועד סגר מוחלט והכרזה על מצב חירום יש כברת דרך. למרות זאת, במצב הנוכחי – דווקא בגלל שלא יודעים בוודאות – מה שראוי לעשות הוא להישמע להוראות.

בכל מקרה, יש כבר סימנים ראשונים שהמצב ישתפר בקרוב. בשלושת הארצות הבעייתיות ביותר כרגע, איטליה, איראן וספרד, קצב הגדילה נראה לינארי בימים האחרונים, לא אקספוננציאלי. הם כנראה הגיעו לנקודת המפנה, שממנה הקצב מתחיל לרדת. ארה"ב עדיין בשלב האקספוננציאלי, אבל יש בהחלט מקום לקוות ואפילו לצפות שלא נגיע למספרים הגבוהים שהוזכרו לעיל. ובדיעבד, ההשפעה הגדולה של המגפה לא תהיה בריאותית, אלא כלכלית-חברתית.

דרור פייטלסון

דרור פייטלסון | אטלס למאה ה-21

פרופסור למדעי המחשב באוניברסיטה העברית. אספן של כל מיני דברים, ובפרט של נתונים ומספרים. אוהב לנסות להסביר דברים בצורה שקל להבין אותם, ובמיוחד אוהב כשזה מצליח ומישהו פתאום מבין משהו חדש. הבלוג הזה משלב את שני הדברים, ויתמקד בהצגה גרפית של נתונים כדי לחשוף מה אפשר להבין מהם. שואף להקשות על כל מי שמנסה לרדד ולהטות את השיח הציבורי על ידי טענות בלתי מבוססות והפצת פייק ניוז. מאמין גדול בכך שיכול להיות כאן הרבה יותר טוב.

חלק מהטורים מבוססים על הספר "עידן הימין: ישראל 2018-1977 בראי הנתונים", שפורסם בתחילת 2019. בספר יש גם הפניה למקורות הנתונים.

תגובות

הזינו שם שיוצג באתר
משלוח תגובה מהווה הסכמה לתנאי השימוש של אתר TheMarker