רלוונטי גם אחרי הבגרות: כך נוסחאות מתמטיות יכולות לעזור להתמודד עם הקורונה

הקורונה יצרה מצב של חוסר ודאות ברחבי העולם. שימוש נכון בנוסחאות יכול לעזור לממשלות להבין את ההשלכות של קורונה על תמותה ועל המשק, ולגבש מדיניות מתאימה

דרור פייטלסון
דרור פייטלסון
דרור פייטלסון
דרור פייטלסון

הטור הזה הוא הרביעי בסדרה על איך חינוך לאוריינות נתונים במערכת החינוך יאפשר הבנה והתמודדות טובה יותר עם משבר הקורונה. כך צדים שתי ציפורים במכה אחת: גם לומדים איך ללמוד, וגם מקבלים מידע מבוסס על הקורונה. בניגוד לטורים הקודמים, שהעלו שאלות שאפשר לענות עליהן באמצעות נתונים, הטור הזה עוסק בתחזיות. אבל גם כאן לנתונים יש תפקיד חשוב.

השאלה הבסיסית שהטור הזה מתמודד איתה היא מה לעשות בתנאים של חוסר ידע ואי ודאות. זה המצב שכל ממשלות העולם היו בו כשפרצה מגפת הקורונה. זאת היתה מחלה חדשה ולא מוכרת, עם פוטנציאל להיות מסוכנת. אבל מה המשמעות המעשית של זה?

זאת נקודת התחלה טובה לדיון בכיתה. אם אתם הייתם ראש הממשלה או שר הבריאות, מה הייתם רוצים לדעת? איזה נתונים הייתם רוצים לקבל? צורה טובה לחדד את הדיון היא לברר קודם כל מה המטרה. במקרה הזה, המטרה היא לפתח מדיניות להתמודדות עם הקורונה. למדיניות הזו יהיה מחיר - למשל אם מחליטים על סגר תהיה פגיעה באזרחים ופגיעה בכלכלה. אז מה היינו רוצים לדעת כדי להחליט מה המדיניות הראויה?

התשובות שצפויות לעלות בדיון כזה הן שהיינו רוצים לדעת עד כמה הקורונה תהיה גרועה - למשל כמה צפויים לחלות, וכמה צפויים למות. הצורה לענות על שאלות כאלה היא לפתח מודלים, כפי שנראה עוד רגע. אבל לפני זה, אני רוצה לעשות עוד הבחנה אחת: אנחנו לא רוצים רק תסריט אחד של מה שהולך לקרות, אלא להשוות בין כמה תסריטים.

למשל, אפשרות אחת היא שלא נעשה כלום, והקורונה תשתולל. אז אנחנו רוצים לדעת מה צפוי לקרות במקרה הזה. אבל אם נפעל באופן נחרץ, למשל על ידי הטלת סגר, התנאים ישתנו והקורונה תהיה יותר מרוסנת. אז אנחנו רוצים לדעת גם מה יקרה במקרה הזה. מה שבאמת מעניין אותנו הוא ההפרש בין התוצאות בשני המקרים. אם במקרה השני הפגיעה הרבה יותר קטנה, זה מצדיק את הטלת הסגר. אם יסתבר שזה לא עשה הבדל גדול, אז חבל לשלם את המחיר.

עכשיו מגיעים לדיון השני: איך בכלל אפשר לעשות הערכות מה יהיה? מה הנתונים שאנחנו צריכים בשביל זה, ומה אפשר לעשות איתם? התשובה היא שאפשר ליצור מודל מתמטי של התפתחות המגיפה, ובאמצעותו לחשב למשל כמה צפויים לחלות וכמה למות. אני ידע שברגע שאומרים מתמטיקה יש מי שזה נשמע להם מפחיד, אבל בעצם המודל המתמטי הבסיסי למגפות הוא די פשוט. הוא נמצא במרכז השיח הציבורי מאז התחלת המגפה, וכולם די מבינים אותו. זה המודל של "מקדם ההדבקה" R.

ההבחנה בבסיס המודל הזה הוא שכל מי שחולה בקורונה מדביק אנשים נוספים. השאלה הגדולה היא כמה אנשים נוספים הוא מדביק? במודל מסמנים את זה באות R (שמייצגת את המילה reproduction באנגלית, שזה שכפול). אם R קטן מ-1, זה אומר שכל חולה מדביק בממוצע פחות מאדם נוסף אחד. כתוצאה מספר החולים צפוי לרדת עם הזמן. לעומת זאת אם R גדול מ-1, כל חולה מדביק בממוצע כמה חולים נוספים, ומספר החולים הכולל צפוי לעלות.

מה שהופך את המודל שתיארתי כעת למודל מתמטי הוא שאפשר לתאר אותו במשוואה. במקרה הפשוט החומר של 4 יחידות במתמטיקה אמור להיות מספיק בשביל לפתור את המשוואה. אז יש כאן הזדמנות לקחת משהו מעניין מהחיים, ולהראות שמה שלומדים במתמטיקה רלוונטי לזה, ולהבין קצת יותר מה המומחים למיניהם עושים. אני הולך להסביר חלק קטן מזה בקצרה.

החלק שאני הולך להתמקד בו הוא רק ההדבקה בתחילת המגפה, ואיך מספר החולים גדל. נסמן את מספר החולים באות I (שמייצגת את המילה infected, כלומר נדבקים). אם מספר החולים הוא I, וכל אחד מהם מדביק R נוספים, אז מספר החולים הנוספים הוא פשוט R*I. במונחים של חשבון דיפרנציאלי זו הנגזרת של I, כלומר השינוי ב-I. לכן המשוואה הדיפרנציאלית היא "הנגזרת של I היא RI", וכותבים אותה כך:

הפתרון של המשוואה הזו הוא ש-I גדל אקספוננציאלית (פונקציה מעריכית):

אפשר לראות את זה על ידי גזירה של הביטוי הזה, ואז מתקבל שהנגזרת היא אכן RI כמו במשוואה המקורית (הנגזרת של אקספוננט היא אותו האקספוננט, כפול הנגזרת הפנימית, במקרה הזה R). סיימנו עם המתמטיקה ונשארנו עם המסקנה: לפי המודל של מקדם הדבקה R, מספר החולים צפוי לגדול אקספוננציאלית. עכשיו אפשר להמשיך בשלושה כיוונים.

הכיוון הראשון הוא להבין מה היא בדיוק "גדילה אקספוננציאלית", ולבדוק אם הנתונים מתאימים למודל. המשמעות של "גדילה אקספוננציאלית" היא שכשזמן קבוע מסוים עובר, מספר החולים מוכפל. למשל בגל הראשון מספר החולים הכפיל את עצמו כל שלושה ימים. אז אם ביום מסוים איבחנו 10 חולים חדשים, שלושה ימים מאוחר יותר איבחנו 20, ואחרי עוד שלושה ימים כבר איבחנו 40 חולים חדשים. אחרי שלושה ימים נוספים כבר היו 80 חולים, וכך הלאה.

כשמנסים לצייר גרף של משהו שגדל אקספוננציאלית, רואים שבהתחלה קצב הגידול איטי ואז הוא נהייה מאוד מהיר. אבל חשוב לשים לב שלביטוי "גדילה אקספוננציאלית" יש משמעות מדויקת, למשל שכל שלושה ימים המספר מוכפל. כדי לראות אם זה באמת מה שקורה בנתונים צריך להציג אותם בסקלה לוגריתמית -- סקלה שבה מרחקים קבועים על הנייר מייצגים הכפלה של הערך, במקום תוספת קבועה של ערך (למשל 10, 20, 40, 80, 160 במקום 10, 20, 30, 40, 50). אם מציגים את נתוני החולים הקשים בגל הרביעי בסקלה כזאת, מקבלים את הגרף הבא.

אז לפני הגל הרביעי מספר החולים הקשים היה קצת יותר מ-20, ובסוף יוני הוא התחיל לעלות. כפי שאפשר לראות בגרף הנתונים די מתאימים לקו ישר בסקלה לוגריתמית, מה שאומר שהמספר מוכפל בצורה קבועה כל יום. כדי לדעת בכמה הוא מוכפל בדיוק אפשר להתאים קו ישר לנתונים, כפי שעשיתי בגרף. מהשיפוע של הקו אפשר לחשב את גורם ההכפלה. במקרה הזה יוצא שמספר החולים קשה מוכפל ב-1.071 כל יום, כלומר גדל ב-7.1%. בקצב כזה מספר החולים מכפיל את עצמו כל 10 ימים.

אפשר גם לראות שמאמצע אוגוסט הנתונים כבר לא ממשיכים לעלות באותו הקצב, אלא מתמתנים. זה קרה זמן קצר אחרי הטלת מגבלות על ידי קבינט הקורונה, כמו החזרת החיוב לעטות מסכות, העבודה בקפסולות, והטלת מגבלות על התקהלויות. כיום לא רק שמספר החולים לא עולה אקספוננציאלית, אלא שהוא מתחיל להתייצב, וצפוי שאחר כך הוא ירד.

הכיוון השני הוא לדון במגבלות של המודל הזה, ובאפשרויות למודלים יותר מורכבים. זה המקום לתת לתלמידים להיות יצירתיים, בשני מישורים. המישור הראשון הוא ביקורת על המודל הבסיסי: מה חסר בו, במה הוא לא מתחשב, ואיפה הוא מזייף. למי שלא מורגל במחשבה על מודלים זה יכול להיות תרגיל קשה, אבל זה אולי הדבר החשוב ביותר כי זה תורם להבנה ולמודעות על המגבלות של מודלים. למשל במקרה של המודל הבסיסי שתיארנו, אפשר לחשוב על כמה בעיות.

1. המודל כולל מנגנון של הדבקה, אבל לא מתייחס להבראה. אז לפי המודל בטווח הארוך מספר החולים יכול רק לעלות (וכשהעלייה היא אקספוננציאלית, תוך זמן קצר כל אוכלוסיית העולם תחלה). זה לא יכול להיות נכון. המסקנה היא שהמודל הזה טוב רק לתיאור השלב ההתחלתי של מגפה, כשעדיין אין הרבה מחלימים.

2. המודל מתייחס ל"אוכלוסייה מעורבבת", שבה לכל חולה יש אפשרות להדביק כל אחד אחר. בעולם האמיתי זה לא כך. למשל בקהילות מבודדות יכול להיות שכולם ידבקו די מהר ואז לא יהיה יותר את מי להדביק, אף על פי שבישוב אחר עדיין יש הרבה בריאים שעלולים להידבק.

3. למודל יש רק פרמטר אחד, R, והוא קבוע. אם נוקטים בצעדים להקטנת ההידבקות באופן אפקטיבי אז ה-R משתנה, והמודל כבר לא תקף.

המישור השני הוא לחשוב על מודלים יותר טובים. במילים אחרות, איך אפשר לתאר באופן מדויק תופעות נוספות שרצוי להכניס למודל, ועבור מי שלומד 5-4 יחידות במתמטיקה - גם איך לבטא את זה במשוואות. המודל הבסיסי ביותר שנותן תיאור מלא של מגפה נקרא מודל SIR (שמוזכר בקצרה בטור הזה), שכולל שני רכיבים: הדבקה כמו שתואר לעיל, אבל גם החלמה של החולים. זה כבר מחייב מערכת של משוואות דיפרנציאליות ולא רק אחת.

אפשרות אחרת היא לחשוב על מודל שבו R משתנה עם הזמן בצורה שמשקפת ריחוק חברתי, מסכות, וחיסונים. ויש כמובן מגוון רחב ועשיר של מודלים יותר מורכבים, שמכילים התייחסות לגורמים שונים. מומלץ לעיין בסדרת טורים בבלוג של פרופ' ניר גביש מהפקולטה למתמטיקה בטכניון, ובדף על מודלים למגפות בוויקיפדיה.

הכיוון השלישי הוא לפתח סימולציות של התפשטות המגפה, מה שמתאים למגמות מחשבים. בעיקרון יש שתי צורות לפתח ולהשתמש במודלים: באופן אנליטי ובאופן נומרי. הגישה האנליטית היא לפתח משוואות ולפתור אותן, כמו שעשינו לעיל. אבל כשהמודלים נהיים יותר ויותר מורכבים, אפשר להגיע למצב שבו אנחנו יכולים לתאר את המודל במשוואה, אבל אי אפשר לפתור אותה ולקבל ביטוי מתמטי של הפתרון. במקום זה אפשר לכתוב תוכנית מחשב שמממשת את המודל, ועושה סימולציה של מה שהמודל מתאר.

התוצאה של הסימולציה היא הפתרון הנומרי של המודל, ואפשר לצייר אותה בגרף ולראות מה המודל חוזה שיקרה. אז מי שלומדים מחשבים יכולים לכתוב תוכניות למודל הפשוט שהוצג לעיל, ולראות איך התוצאות של הסימולציה מתאימות לתוצאות המתמטיות, ואז הם יכולים להתחיל להוסיף למודל (ולתוכנית) דברים נוספים כדי לקבל תיאור יותר טוב של המחלה, ולראות איך זה משפיע.

כתבות מומלצות

בתביעה נכתב כי הראיון כולו "התנהל בצורה שאינה מכבדת או רצינית״ כלפיה

המועמדת התחברה לראיון עבודה בזום - וקיבלה מהמראיין מייל שהדהים אותה

ריי דליו

מייסד קרן הגידור הגדולה בתבל: מזומן הוא זבל - ממשלות יחסלו את ביטקוין

ישראל פישר

יוקרה זה רע? כך נראים החיים במגדל חדש בתל אביב

מפגינים נגד יוקר המחיה מול בית הנשיא בסרי לנקה

קו השבר שעלול לקחת את הכלכלה העולמית למקום אחר, אפל יותר

תגובות

הזינו שם שיוצג באתר
משלוח תגובה מהווה הסכמה לתנאי השימוש של אתר TheMarker

כתבות שאולי פספסתם

בת ים

שתי דירות במחיר אחת: האם זהו עתיד תחום הפינוי-בינוי?

אפליקציית קלארנה. החברה נמצאת במגעים לגיוס סבב חדש לפי שווי שנמוך בכ-30% מהשווי שקיבלה לפני שנה בלבד

"היערכו לגרוע מכל": נבואות החורבן בהיי-טק מתחילות להגשים את עצמן